2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第21题

（1）证法一：由得，即.

因，故，得。

又由题设条件知 ，，

两式相减得，

即，

由，知，因此

综上，对所有成立，从而 是首项为，公比为的等比数列。

证法二：用数学归纳法证明，。

当时，由，得，即，再由，故

所以结论成立．

假设时，结论成立，即，那么，

当时，结论也成立。

综上可得，对任意，。因此是首项为1，公比为的等比数列。

（2）证法一：当或时，显然，等号成立。

设且，由(1)知所以要证的不等式化为

，

即证：，

当时，上面不等式的等号成立。

当时，与同为负；

当时， 与 同为正。

因此当且时，总有，即

<。

上面不等式对从到求和得

，

由此可得，

综上，当且，有，当且仅当或时等号成立。

证法二：当或时，显然 ，等号成立．当时， ，等号成立

当，由（1）知：，下证：

且

当时，上面不等式化为

 ，

令，

当 时，，故

，

即所要证的不等式成立．

当时，对求导得

其中，则，即是上的减函数，故，从而 ，进而是上的增函数，因此，所要证的不等式成立。

当时，令，则，由已知的结论知。

两边同时乘以得所要证的不等式。

综上，当且，有，当且仅当或时等号成立。