2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点。
（Ⅰ）证明：和均为定值；
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则 ，
由在椭圆上，则，而，则，
于是，。
当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，，即，
由韦达定理，
，，
则，满足。
，
综上可知，。
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知；
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，，
，当且仅当，即时等号成立。
综上可知的最大值为。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点，使得，
由（Ⅰ）知 ，，，
解得。
因此只能从中选取，只能从中选取，
因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，
故椭圆上不存在三点，使得。
本题主要对圆锥曲线知识的综合运用。
（Ⅰ）本题应该先分别讨论动直线的斜率是否存在这两种情况。若其斜率不存在，此时直线与轴垂直，求出点两点的坐标，分别求出即可。若直线斜率存在，可设直线的方程为，将联立，利用韦达定理分别求出。再利用,得出与之间的等式关系，然后再结合韦达定理便可得出结论。最后再综合以上讨论，题目便可得证。
（Ⅱ）本题应该先求出和，进而得到。再利用均值不等式，便可求出的最大值。
（Ⅲ）本题利用反证法。假设存在三点满足题目条件，再结合（1）中结论，猜测情况中的所满足的条件，最后发现此条件与矛盾，便可得到假设不成立。于是不存在这样的三点。
全网搜索"2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第22题"相关
