2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
设为常数，曲线与直线在点相切。
（1）求的值；
（2）证明：当时，。
（1）由的图像过点，代入得。
由在处的切线斜率为，又，得。
（2）由均值不等式，当时，，故
记，则
令，则当时，。
因此在内是减函数，又由，得，所以，
因此在内是减函数，又由，得，
于是，当时， 。
第二问欲证的不等式为：，一般来说，我们的思路是证明（记）且，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在处的切线方程（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就十分自然了。
如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取，则，不等式化为，即，求导得，注意到时该式子为零，故有这个因式，通分后对分子因式分解得，有，可得导数小于零，从而不等式获证。
本题主要考查导数的应用及不等式的证明。
（1）由与直线在点相切得过点，且，解方程即可求出，。
（2）令，注意到，可考虑证明单调递减。对求导数，通过判断的正负研究的单调性。
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