2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：文数第20题<-->返回列表
（本题满分14分）
（1）已知两个等比数列，，满足，。若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由。
（1）设数列的公比为，则有，，，则由成等比数列得。即。由得，故方程有两个不同的实根。再由唯一，知方程必有一根为0，将带入方程得。
（2）假设存在两个等比数列，使得成公差不为0的等差数列。设等比数列的公比为，的公比为。则有。由，，，成等差数列得，即。得，由得或。
（ⅰ）当时，由①②得或，这时与公差不为0矛盾。
（ⅱ）当时，由得①②得或，这时，与公差不为0矛盾。
综上所述，不存在两个等比数列，，使得成公差不为0的等差数列。
本题主要考查等差数列和等比数列知识的综合应用。
（1）设数列的公比为，则由题意可表示出，再根据成等比数列可建立等式，即。因为，所以方程有两个不同的实根，由题意可知唯一，故是方程的一个根，代入方程即可求得。
（2）设等比数列的公比为，的公比为，然后根据，，，成等差数列建立等式，解得或，然后分类讨论，均可得出与题目中公差不为0矛盾，所以不存在满足要求的，。
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