2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） ：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知函数，。
（Ⅰ）求函数的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有。
（Ⅰ）由，知，而，且，
，则为的一个零点，且在内有零点。
因此至少有两个零点。
，记，则。
当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，，则在内有零点，
所以在内有且只有一个零点，
记此零点为，则当时，；
当时，，
所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；
当时，单调递增，而在内至多只有一个零点。
从而在内至多只有一个零点。
综上所述，有且只有两个零点。
（Ⅱ）记的正零点为，即。
（1）当时，由，即。
而，因此。
由此猜测：。下面用数学归纳法证明。
①当时，显然成立。
②假设当时，成立，则当时，由知，。
因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
（2）当，由（Ⅰ）知，在上单调递增，则，
即，从而，即。
由此猜测：，下面用数学归纳法证明，
②假设当时，成立，则当时，
由知，。因此，当时，成立，
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有。
本题主要考查导数的运用、函数零点的判断和数学归纳法。
（Ⅰ）由知，又因为，，再研究函数在上的单调性便可确定函数零点的个数。
（Ⅱ）本题应该根据的大小关系进行判断。先由出发，猜想可能成立的结论，然后再验证即可。记的正零点为，即，当时，由，得，而，由此猜测。当时，当时，单调递增，，从而，由此猜测，然后由数学归纳法证明即可。
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