2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，求函数的最大值；
（Ⅱ）设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则。
（Ⅰ）定义域为，令，所以。
时，；时，。所以。
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即。
因为，所以，所以。
。因为，所以，所以。
所以。
（2）①先证。
令，所以。
由（1）得，所以。
②再证。
记，令，所以，
于是由（1）得，所以，所以。
综合①②，（2）得证。
本题主要考查导数应用和数列形式不等式证明。
（Ⅰ）第一问使用导数，求解函数的单调性，从而得到函数最大值。
（Ⅱ）（1）利用上一问结论可以放缩，从而进行求和，得到结论。
（2）利用（1）得到的结论，得到，从而得到结论。
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