2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，直线交轴点，设是上一点，是线段 的垂直平分线上一点，且满足。
（1） 当点在上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）已知。设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；
（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围。
（1）如图所示：
连接，则。因为，所以动点满足或在的负半轴上。设，
①当时，，， ，化简得；
②当在的负半轴上时，。
综上所述，点的轨迹的方程为或。
（2）如图所示，
由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴。
① 若是抛物线上的动点，过作于，由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有，则。
当三点共线时，有最小值，求得此时的坐标为。
② 若是的负半轴上的动点，显然有。
综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为。
（3）如图所示，
设抛物线顶点，则直线的斜率。因为点在抛物线内部，所以过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点。
则直线 与轨迹 的交点个数分以下四种情况讨论：
① 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点；
② 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点；
③ 当时，直线与轨迹有且只有一个交点；
④ 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点；
综上所述，直线的斜率的取值范围是。
本题主要考查曲线方程的求解以及平面几何中的综合分析求解能力。
（1）如图，
点的位置有两种情况：和在轴上。①当时，因为在的垂直平分线上，所以，利用该结论建立等式即可求解出轨迹方程；②当在轴上时，易知其轨迹方程为。
（2）如图，
按（1）中两种情况分别求解点的坐标。①当时，因为抛物线焦点为原点，准线为，作，由定义可知，由几何关系可知：当三点共线时，有最小值。②当在轴上时，显然有。故的最小值为3，此时点的坐标为。
（3）如图，
根据轨迹的特点，需要分类讨论，，，四中不同的情况，然后对各个满足条件的情况的的范围取并集即可。
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