2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知，为常数，且，函数，（为自然对数的底数）。
（Ⅰ） 求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）由得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而。
（）当时，由得，由得；
（）当时，由得，由得。
综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为。
（Ⅲ）当时，，。
由（Ⅱ）得，时有下表：
又，所以的值域是。
据此可得，若，则对每一个，直线与曲线都有公共点，
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。
综上所述，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线 与曲线都有公共点。
本题主要考查求函数单调区间和函数与直线的交点问题。
（Ⅰ）根据即可求出的值。
（Ⅱ）代入（1）中求得的值，对求导得，再对参数作分类讨论求的单调区间。
（Ⅲ）根据在区间上的值域，讨论和的取值对两曲线是否有公共点的影响即可。
全网搜索"2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第22题"相关
