（18分）在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A$为椭圆$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点$A$的横坐标为2，求$\vert AF_{1}\vert$的长；
（2）设$\Gamma$的上、下顶点分别为$M_{1}$、$M_{2}$，记△$AF_{1}F_{2}$的面积为$S_{1}$，△$AM_{1}M_{2}$的面积为$S_{2}$，若$S_{1}\geqslant S_{2}$，求$\vert OA\vert$的取值范围．
（3）若点$A$在$x$轴上方，设直线$AF_{2}$与$\Gamma$交于点$B$，与$y$轴交于点$K$，$KF_{1}$延长线与$\Gamma$交于点$C$，是否存在$x$轴上方的点$C$，使得$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C})(\lambda \in R)$成立？若存在，请求出点$C$的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：（1）$\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$；
（2）$(\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{10}}{5})$；
（3）存在$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$满足条件．

分析：（1）由题意，设出点$A$的坐标，将点$A$的坐标代入椭圆方程中再结合公式进行求解即可；
（2）设出点$A$的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可；
（3）设出$A$，$B$两点的坐标，根据对称性得到点$C$的坐标，利用向量的运算以及题目所给信息求出$y_{2}+2y_{1}=0$，设出直线$AF_{2}$的方程，将直线$AF_{2}$的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点$A$在直线$AF_{2}$上，即可求出满足条件的$C$点坐标．

解：（1）因为点$A$的横坐标为2，
不妨设$A(2,y)$，
因为点$A$在椭圆$\Gamma$上，
所以$\dfrac{{2}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$，
解得${y}^{2}=\dfrac{2}{3}$，
易知$F_{1}(-2,0)$，
所以$\vert A{F}_{1}\vert =\sqrt{[2-(-2)]^{2}+(y-0)^{2}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$；
（2）不妨设$A(x,y)$，$xy\ne 0$，
此时${S}_{1}=\dfrac{1}{2}\vert {F}_{1}{F}_{2}\vert \vert y\vert =2\vert y\vert ,{S}_{2}=\dfrac{1}{2}\vert {M}_{1}{M}_{2}\vert \vert x\vert =\sqrt{2}\vert x\vert$，
因为$S_{1}\geqslant S_{2}$，
所以$2\vert y\vert \geqslant \sqrt{2}\vert x\vert$，
即$2y^{2}\geqslant x^{2}$，
又$\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$，
所以$2y^{2}\geqslant 6-3y^{2}$，
解得$\dfrac{6}{5}\leqslant {y}^{2} < 2$，
则$\vert OA\vert =\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{(6-3{y}^{2})+{y}^{2}}=\sqrt{6-2{y}^{2}}$，
故$\vert OA\vert$的范围为$(\sqrt{2}$，$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}]$；
（3）不妨设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$y_{1} > 0$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，
由对称性可得$A$、$C$关于$y$轴对称，
所以$C(-x_{1}$，$y_{1})$，
又$F_{1}(-2,0)$，$F_{2}(2,0)$，
此时$\overrightarrow{{F}_{1}A}=({x}_{1}+2,{y}_{1}),\overrightarrow{{F}_{1}B}=({x}_{2}+2,{y}_{2}),\overrightarrow{{F}_{1}C}=(-{x}_{1}+2,{y}_{1})$，
所以$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=({x}_{2}+6,{y}_{2}+2{y}_{1})$，
同理得$\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C}=({x}_{2}-6,{y}_{2}+2{y}_{1})$，
因为$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C})(\lambda \in R)$，
所以$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}//\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
解得$y_{2}+2y_{1}=0$或$\left\{\begin{array}{l}{y}_{2}+2{y}_{1}\ne 0\\ {x}_{2}+6={x}_{2}-6\end{array}\right.$（无解），
不妨设直线$AF_{2}:x=my+2$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去$x$并整理得$(m^{2}+3)y^{2}+4my-2=0$，
由韦达定理得$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}{y}_{2}=-2{y}_{1}^{2}=\dfrac{-2}{{m}^{2}+3}\\ {y}_{1}+{y}_{2}=-{y}_{1}=-\dfrac{4m}{{m}^{2}+3}\end{array}\right.$，
解得$m=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，
此时${y}_{1}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$，
又$x_{1}=my_{1}+2$，
解得${x}_{1}=\dfrac{9}{4}$，
此时$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$．
故存在$x$轴上方的点$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$，使得$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C})(\lambda \in R)$成立．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．