(14分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示: (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少? (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到$0.1)$. (3)是否有$95%$的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关? 答案:(1)12500人; (2)$0.9h$; (3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关 分析:(1)由已知结合频率与概率关系即可求解; (2)先求出样本平均数,然后用样本平均数估计总体平均数即可; (3)结合独立性检验即可判断. 解:(1)580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比$P=\dfrac{42+3+1+137+40+27}{580}=\dfrac{25}{58}$, 该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为$29000\times \dfrac{25}{58}=12500$; (2)该地区初中学生锻炼平均时长约为 $\dfrac{1}{580}\times [\dfrac{1}{2}\times 0.5\times (5+134)+\dfrac{1+0.5}{2}\times (4+147)+\dfrac{1+1.5}{2}\times (42+137)+\dfrac{1.5+2}{2}\times (3+40)+\dfrac{2+2.5}{2}\times (1+27)]$ $=\dfrac{27}{29}\approx 0.9h$; (3)由题意可得$2\times 2$列联表,
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$[1$,$2)$ |
其他 |
总数 |
优秀 |
45 |
50 |
95 |
不优秀 |
177 |
308 |
485 |
①提出零假设$H_{0}$:成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关, ②确定显著性水平$\alpha =0.05$,$P(x^{2}\geqslant 3.841)\approx 0.05$, ③$\chi ^2=\dfrac{580\times (45\times 308-177\times 50)^{2}}{(45+50)\times (177+308)\times (45+177)\times (50+308)}\approx 3.976 > 3.841$, ④否定零假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 点评:本题主要考查了用样本估计总体,由频率分布表求平均数及独立性检验的应用,属于中档题.
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