Processing math: 100%
91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2024 > 2024年上海 > 正文 返回 打印

2024年高考数学上海17

  2024-08-28 23:08:22  

(14分)如图为正四棱锥PABCDO为底面ABCD的中心.
(1)若AP=5AD=32,求ΔPOAPO旋转一周形成的几何体的体积;
(2)若AP=ADEPB的中点,求直线BD与平面AEC所成角的大小.


答案:(1)12π
(2)π4
分析:(1)根据已知条件,先求出PO,再结合棱锥的体积公式,即可求解.
(2)建立空间直角坐标系,求出平面AEC的法向量,再结合向量的夹角公式,即可求解.
解:(1)因为PABCD是正四棱锥,
所以底面ABCD是正方形,且OP底面ABCD
因为AD=32
所以AO=OD=OB=OC=3
因为AP=5
所以PO=AP2AO2=4
所以ΔPOAOP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥,
所以V=13Sh=13π×32×4=12π
(2)如图建立空间直角坐标系,

因为AP=AD,由题知PABCD是正四棱锥,所以该四棱锥各棱长相等,
AB=2a
AO=OD=OB=OC=aPO=AP2AO2=a
O(000)P(00a)A(0a0)B(a00)C(0a0)D(a00)E(a2,0,a2)
BD=(2a,0,0)AC=(0,2a,0)AE=(a2,a,a2)
n=(x1,y1,z1)为平面AEC的法向量,
{nAC=0nAE=0,即{2ay1=0a2x1+ay1+a2z1=0,令x1=1,则y1=0z1=1
所以n=(1,01)
cosn,BD=nBD|n||BD|=2a|2a||2|=22
设直线BD与面AEC所成角为θ
因为sinθ=|cosn,BD|=22
θ[0,π2]
θ=π4
点评:本题主要考查棱锥体积的求解,以及空间向量的应用,属于中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2024/2024sh/2024-08-28/34293.html