2024年高考数学上海17 |
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2024-08-28 23:08:22 |
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(14分)如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心. (1)若AP=5,AD=3√2,求ΔPOA绕PO旋转一周形成的几何体的体积; (2)若AP=AD,E为PB的中点,求直线BD与平面AEC所成角的大小.

答案:(1)12π; (2)π4. 分析:(1)根据已知条件,先求出PO,再结合棱锥的体积公式,即可求解. (2)建立空间直角坐标系,求出平面AEC的法向量,再结合向量的夹角公式,即可求解. 解:(1)因为P−ABCD是正四棱锥, 所以底面ABCD是正方形,且OP⊥底面ABCD, 因为AD=3√2, 所以AO=OD=OB=OC=3, 因为AP=5, 所以PO=√AP2−AO2=4, 所以ΔPOA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥, 所以V=13Sh=13π×32×4=12π; (2)如图建立空间直角坐标系,
 因为AP=AD,由题知P−ABCD是正四棱锥,所以该四棱锥各棱长相等, 设AB=√2a, 则AO=OD=OB=OC=a,PO=√AP2−AO2=a, 则O(0,0,0),P(0,0,a),A(0,−a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(−a,0,0),E(a2,0,a2), 故→BD=(−2a,0,0),→AC=(0,2a,0),→AE=(a2,a,a2), 设→n=(x1,y1,z1)为平面AEC的法向量, 则{→n⋅→AC=0→n⋅→AE=0,即{2a⋅y1=0a2⋅x1+a⋅y1+a2⋅z1=0,令x1=1,则y1=0,z1=−1, 所以→n=(1,0−1), 则cos⟨→n,→BD⟩=→n⋅→BD|→n|⋅|→BD|=−2a|2a|⋅|√2|=−√22, 设直线BD与面AEC所成角为θ, 因为sinθ=|cos⟨→n,→BD⟩|=√22, θ∈[0,π2], 则θ=π4. 点评:本题主要考查棱锥体积的求解,以及空间向量的应用,属于中档题.
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