| 2024年高考数学天津17 |
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2024-08-28 22:51:22 |
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（15分）已知四棱锥ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1．N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
（1）求证：D1N//平面CB1M；
（2）求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值；
（3）求点B到平面CB1M的距离．
答案：（1）证明见解答；
（2）2√2211；
（3）2√1111．
分析：（1）取CB1中点E，连接NE，ME，易证四边形D1MEN是平行四边形，所以D1N//ME，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以A为原点建系，利用向量法分别求出平面CB1M与平面BB1CC1的法向量，利用向量的夹角公式，求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角的余弦值；
（3）由（2）得→BB1及平面CB1M的法向量，利用向量法即可求点B到平面CB1M的距离．
（1）证明：取CB1中点E，连接NE，ME，
由N是B1C1的中点，得NE//CC1，且NE=12CC1，
由M是DD1的中点，得D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，
则D1M//NE，D1M=NE，
所以四边形D1MEN是平行四边形，
所以D1N//ME，
又ME⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，
故D1N//平面CB1M．
（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则→CB1=(1，−1，2)，→CM=(−1,0,1)，→BB1=(0,0,2)，
设平面CB1M的法向量为→m=(x1,y1,z1)，
{→m⋅→CB1=x1−y1+2z1=0→m⋅→CM=−x1+z1=0，则→m=(1，3，1)，
设平面BB1CC1的法向量为→n=(x2,y2,z2)，
{→n⋅→CB1=x2−y2+2z2=0→n⋅→BB1=2z2=0，则→n=(1，1，0)，
所以cos<→m，→n>=→m⋅→n|→m|⋅|→n|=1+3√1+9+1×√1+1=2√2211，
故平面CB1M与平面BB1CC1的夹角的余弦值为2√2211．
（3）解：因为→BB1=(0,0,2)，平面CB1M的法向量为→m=(1,3,1)，
所以点B到平面CB1M的距离为d=|→BB1⋅→m||→m|=2√1+9+1=2√1111．
点评：本题考查直线与平面平行、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题．
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