（15分）已知四棱锥$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$为梯形，$AB//CD$，$A_{1}A\bot$平面$ABCD$，$AD\bot AB$，其中$AB=AA_{1}=2$，$AD=DC=1$．$N$是$B_{1}C_{1}$的中点，$M$是$DD_{1}$的中点．
（1）求证：$D_{1}N//$平面$CB_{1}M$；
（2）求平面$CB_{1}M$与平面$BB_{1}CC_{1}$的夹角余弦值；
（3）求点$B$到平面$CB_{1}M$的距离．


答案：（1）证明见解答；
（2）$\dfrac{2\sqrt{22}}{11}$；
（3）$\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$．
分析：（1）取$CB_{1}$中点$E$，连接$NE$，$ME$，易证四边形$D_{1}MEN$是平行四边形，所以$D_{1}N//ME$，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以$A$为原点建系，利用向量法分别求出平面$CB_{1}M$与平面$BB_{1}CC_{1}$的法向量，利用向量的夹角公式，求平面$CB_{1}M$与平面$BB_{1}CC_{1}$的夹角的余弦值；
（3）由（2）得$\overrightarrow{B{B}_{1}}$及平面$CB_{1}M$的法向量，利用向量法即可求点$B$到平面$CB_{1}M$的距离．
（1）证明：取$CB_{1}$中点$E$，连接$NE$，$ME$，
由$N$是$B_{1}C_{1}$的中点，得$NE//CC_{1}$，且$NE=\dfrac{1}{2}CC_{1}$，
由$M$是$DD_{1}$的中点，得$D_1M=\dfrac{1}{2}DD_1=\dfrac{1}{2}CC_1$，且$D_{1}M//CC_{1}$，
则$D_{1}M//NE$，$D_{1}M=NE$，
所以四边形$D_{1}MEN$是平行四边形，
所以$D_{1}N//ME$，
又$ME\subset$平面$CB_{1}M$，$D_{1}N\not\subset$平面$CB_{1}M$，
故$D_{1}N//$平面$CB_{1}M$．
（2）解：以$A$为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有$A(0，0，0)$，$B(2，0，0)$，$B_{1}(2，0，2)$，$M(0，1，1)$，$C(1，1，0)$，$C_{1}(1，1，2)$，
则$\overrightarrow{C{B}_{1}}=(1$，$-1$，$2)$，$\overrightarrow{CM}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)$，
设平面$CB_{1}M$的法向量为$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1,z_1)$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{C{B}_{1}}={x}_{1}-{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{CM}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{m}=(1$，3，$1)$，
设平面$BB_{1}CC_{1}$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2,z_2)$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{C{B}_{1}}={x}_{2}-{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{B{B}_{1}}=2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{n}=(1$，1，$0)$，
所以$\cos   < \overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n} > =\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \cdot \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{1+3}{\sqrt{1+9+1}\times \sqrt{1+1}}=\dfrac{2\sqrt{22}}{11}$，
故平面$CB_{1}M$与平面$BB_{1}CC_{1}$的夹角的余弦值为$\dfrac{2\sqrt{22}}{11}$．
（3）解：因为$\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)$，平面$CB_{1}M$的法向量为$\overrightarrow{m}=(1,3,1)$，
所以点$B$到平面$CB_{1}M$的距离为$d=\dfrac{\vert \overrightarrow{BB_1}\cdot \overrightarrow{m}\vert }{\vert \overrightarrow{m}\vert }=\dfrac{2}{\sqrt{1+9+1}}=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$．
点评：本题考查直线与平面平行、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题．