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2024年高考数学北京17

  2024-08-28 22:34:43  

(15分)已知四棱锥$P-ABCD$,$AD//BC$,$AB=BC=1$,$AD=3$,$DE=PE=2$,$E$是$AD$上一点,$PE\bot AD$.
(1)若$F$是$PE$中点,证明:$BF//$平面$PCD$.
(2)若$AB\bot$平面$PED$,求面$PAB$与面$PCD$夹角的余弦值.

分析:(1)设$M$为$PD$的中点,连接$FM$,$CM$,证明四边形$BCMF$为平行四边形,即可得$BF//CM$,由线面平行的判定定理即可证明;
(2)易得$CE\bot$平面$PED$,以$E$为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求解.
(1)证明:如图,设$M$为$PD$的中点,连接$FM$,$CM$,
因为$F$是$PE$中点,所以$FM//ED$,且$FM=\dfrac{1}{2}ED$,
因为$AD//BC$,$AB=BC=1$,$AD=3$,$DE=PE=2$,
所以四边形$ABCE$为平行四边形,$BC//ED$,且$BC=\dfrac{1}{2}ED$,
所以$FM//BC$,且$FM=BC$,
即四边形$BCMF$为平行四边形,
所以$BF//CM$,
因为$BF\not\subset$平面$PCD$,$CM\subset$平面$PCD$,
所以$BF//$平面$PCD$.
(2)解:因为$AB\bot$平面$PED$,
所以$CE\bot$平面$PED$,$EP$,$ED$,$EC$相互垂直,
以$E$为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则$P(0,0,2)$,$A(0,-1,0)$,$B(1,-1,0)$,$C(1,0,0)$,$D(0,2,0)$,
所以$\overrightarrow{AB}=(1$,0,$0)$,$\overrightarrow{AP}=(0$,1,$2)$,$\overrightarrow{PC}=(1,0,-2)$,$\overrightarrow{CD}=(-1,2,0)$,
设平面$PAB$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(x_{1}$,$y_{1}$,$z_{1})$,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AB}={x}_{1}=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AP}={y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$,取$z_{1}=-1$,则$\overrightarrow{m}=(0,2,-1)$,
设平面$PCD$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(x_{2}$,$y_{2}$,$z_{2})$,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{PC}={x}_{2}-2{z}_{2}=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$,取$z_{2}=1$,则$\overrightarrow{n}=(2,1,1)$,
设平面$PAB$与平面$PCD$夹角为$\theta$,
则$\cos  \theta =\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \cdot \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{2-1}{\sqrt{5}\times \sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{30}}=\dfrac{\sqrt{30}}{30}$.
点评:本题考查线面平行的判定定理,向量法求解二面角问题,属于中档题.

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