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2024年高考数学北京16

  2024-08-28 22:34:11  

(10分)在ΔABC中,a=7A为钝角,sin2B=37bcosB
(1)求A
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求ΔABC的面积.
b=7
cosB=1314
csinA=523
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
分析:(1)由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA,即可得到A
(2)分析选条件①不合题意;
选条件②,由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin(A+B)可求得sinC,再由三角形面积公式求解即可;
选条件③,由(1)及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可;.
解:(1)因为sin2B=37bcosB=2sinBcosBcosB0
所以sinB=314b
ΔABC中,由正弦定理得asinA=bsinB
因为a=7,所以sinA=32
因为A为钝角,
所以A=2π3
(2)若选条件①,因为b=7a=7
所以B=A=2π3,与A+B+C=π矛盾,故不合题意,舍去;
若选条件②,因为cosB=1314,所以sinB=1cos2B=3314
ΔABC中,由正弦定理得asinA=bsinB
所以b=asinAsinB=7sin2π3×3314=3
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×1314+(12)×3314=5314
所以ΔABC的面积为S=12absinC=12×7×3×5314=1534
若选条件③,由(1)知A=2π3
因为csinA=523,所以c=5
由余弦定理得a2=b2+c22bccosA
72=b2+522b×5×cos2π3,解得b=3
所以ΔABC的面积为S=12bcsinA=12×3×5×sin2π3=1534
点评:本题考查正弦定理及余弦定理的应用,考查三角形的面积公式,考查运算求解能力,属于中档题.

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