(10分)在ΔABC中,a=7,A为钝角,sin2B=√37bcosB. (1)求∠A; (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求ΔABC的面积. ①b=7; ②cosB=1314; ③csinA=52√3. 注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分. 分析:(1)由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA,即可得到A; (2)分析选条件①不合题意; 选条件②,由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin(A+B)可求得sinC,再由三角形面积公式求解即可; 选条件③,由(1)及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可;. 解:(1)因为sin2B=√37bcosB=2sinBcosB,cosB≠0, 所以sinB=√314b, 在ΔABC中,由正弦定理得asinA=bsinB, 因为a=7,所以sinA=√32, 因为A为钝角, 所以A=2π3. (2)若选条件①,因为b=7,a=7, 所以B=A=2π3,与A+B+C=π矛盾,故不合题意,舍去; 若选条件②,因为cosB=1314,所以sinB=√1−cos2B=3√314, 在ΔABC中,由正弦定理得asinA=bsinB, 所以b=asinA⋅sinB=7sin2π3×3√314=3, 又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×1314+(−12)×3√314=5√314, 所以ΔABC的面积为S=12absinC=12×7×3×5√314=15√34; 若选条件③,由(1)知A=2π3, 因为csinA=52√3,所以c=5, 由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA, 即72=b2+52−2b×5×cos2π3,解得b=3, 所以ΔABC的面积为S=12bcsinA=12×3×5×sin2π3=15√34. 点评:本题考查正弦定理及余弦定理的应用,考查三角形的面积公式,考查运算求解能力,属于中档题.
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