(12分)已知等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,且$2S_{n}=3a_{n+1}-3$. (1)求$\{a_{n}\}$的通项公式; (2)求数列$\{S_{n}\}$的通项公式. 分析:(1)由已知递推关系进行转化,然后结合等比数列的定义及通项公式即可求解; (2)结合已知递推关系及(1)的结论即可求解. 解:(1)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$, 所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$, 两式相减可得:$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$,即$3a_{n+2}=5a_{n+1}$, 所以等比数列$\{a_{n}\}$的公比$q=\dfrac{5}{3}$, 又因为$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3$, 所以$a_{1}=1$,$a_n=(\dfrac{5}{3})^{n-1}$; (2)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$, 所以$S_n=\dfrac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\dfrac{3}{2}[(\dfrac{5}{3})^n-1]$. 点评:本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的定义,通项公式的应用,属于中档题.
|