2024年高考数学甲卷-文16 |
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2024-08-28 22:16:19 |
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(5分)曲线y=x3−3x与y=−(x−1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为_____. 分析:问题转化为a=x3−3x+(x−1)2有两个不同的零点,构造函数φ(x)=x3−3x+(x−1)2,对其求导,结合导数分析函数的性质,即可求解. 解:令x3−3x=−(x−1)2+a,则a=x3−3x+(x−1)2, 令φ(x)=x3−3x+(x−1)2,则φ′(x)=3x2−3+2(x−1)=(x−1)(3x+5), 因为x>0, 故当x>1时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,当0<x<1时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减, 因为φ(0)=1,φ(1)=−2,x→+∞时,φ(x)→+∞, 若使得a=x3−3x+(x−1)2有两个不同零点, 则a的范围为(−2,1). 故答案为:(−2,1). 点评:本题主要考查了由函数零点求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于中档题.
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