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2024年高考数学甲卷-文16

  2024-08-28 22:16:19  

(5分)曲线y=x33xy=(x1)2+a(0,+)上有两个不同的交点,则a的取值范围为_____.
分析:问题转化为a=x33x+(x1)2有两个不同的零点,构造函数φ(x)=x33x+(x1)2,对其求导,结合导数分析函数的性质,即可求解.
解:令x33x=(x1)2+a,则a=x33x+(x1)2
φ(x)=x33x+(x1)2,则φ(x)=3x23+2(x1)=(x1)(3x+5)
因为x>0
故当x>1时,φ(x)>0φ(x)单调递增,当0<x<1时,φ(x)<0φ(x)单调递减,
因为φ(0)=1φ(1)=2x+时,φ(x)+
若使得a=x33x+(x1)2有两个不同零点,
a的范围为(2,1)
故答案为:(2,1)
点评:本题主要考查了由函数零点求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于中档题.

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