[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系$xOy$中，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$\rho =\rho \cos  \theta +1$．
（1）写出$C$的直角坐标方程；
（2）直线$l:\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$为参数），若$C$与$l$交于$A$、$B$两点，$\vert AB\vert =2$，求$a$的值．
分析：（1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线$C$的直角坐标方程；
（2）联立直线和曲线$C$的方程得$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$，由题意及直线参数方程的几何意义得$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{16(1-a)}=2$，解方程即可．
解：（1）因为$\rho =\rho \cos  \theta +1$，所以$\rho ^{2}=(\rho \cos  \theta +1)^{2}$，
因为$\rho \cos  \theta =x$，$\rho \\sin  \theta =y$，
故$C$的直角坐标方程为$x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}$，即$y^{2}=2x+1$．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$为参数），
代入$y^{2}=2x+1$，整理得：$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$，
设方程的两根分别为$t_{1}$，$t_{2}$，
由△$=4(a-1)^{2}-4(a^{2}-1) > 0$，得$a < 1$，
由根与系数的关系得$t_{1}+t_{2}=-2(a-1)$，$t_{1}\cdot t_{2}=a^{2}-1$，
依题意及直线参数方程的几何意义得$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{2}\cdot \sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}=\sqrt{16(1-a)}=2$，
解得：$a=\dfrac{3}{4}$．
点评：本题考查极坐标与直角方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，属于中档题．