| 2024年高考数学新高考Ⅱ-17 |
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2024-08-27 15:59:53 |
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（15分）如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5√3，∠ADC=90∘，∠BAD=30∘，点E，F满足→AE=25→AD，→AF=12→AB，将ΔAEF沿EF对折至ΔPEF，使得PC=4√3．
（1）证明：EF⊥PD；
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
分析：（1）在ΔAEF中，AE=25AD，AF=12AB，∠EAF=30∘，由余弦定理可得EF，由勾股定理的逆定理可得AE⊥EF，由折叠的性质可知PE⊥EF，由线面垂直的判定定理可得EF⊥面PDE，即可得出答案．
（2）由线面垂直的判定定理可得PE⊥面DEF，进而可得EF，ED，EP所在直线两两垂直，以EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E−xyz，求出平面PCD的法向量→n1=(x1，y1，z1)，平面PBF的法向量→n2=(x2，y2，z2)，设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α，计算cos<→n1，→n2>=→n1⋅→n2|→n1||→n2|，进而可得答案．
解：（1）证明：在ΔAEF中，AE=25AD=2√3，AF=12AB=4，∠EAF=30∘，
所以cos∠AEF=AE2+AF2−EF22AE⋅AF=12+16−EF22⋅2√3⋅4=√32，
所以EF=2，
所以EF2+AE2=AF2，
所以AE⊥EF，
所以DE⊥EF，
由折叠的性质可知PE⊥EF，
又PE⋂DE=E，PE，DE⊂面PDE，
所以EF⊥面PDE，
又PD⊂面PDE，
所以EF⊥PD．
（2）DE=5√3−2√3=3√3，CD=3，∠CDE=90∘，
所以CE2=36，CE=6，
PE=AE=2√3，
所以PE2+CE2=PC2，
所以PE⊥CE，
又因为PE⊥EF，EF⋂CE=E，EF，CE⊂面DEF，
所以PE⊥面DEF，
又DE⊂面DEF，
所以PE⊥ED，
所以EF，ED，EP所在直线两两垂直，
以EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E−xyz:
P(0，0，2√3)，D(0，3√3，0)，F(2，0，0)，A(0，−2√3，0)，则B(4，2√3，0)，C(3，3√3，0)，
所以→PD=(0，3√3，−2√3)，→CD=(−3，0，0)，→PB=(4，2√3，−2√3)，→BF=(−2，−2√3，0)，
设平面PCD的法向量→n1=(x1，y1，z1)，
所以{→n1⋅→PD=3√3y1−2√3z1=0→n1⋅→CD=−3x1=0，
设y1=2，则z1=3，x1=0，
所以→n1=(0，2，3)，
设平面PBF的法向量→n2=(x2，y2，z2)，
所以{→n2⋅→PB=4x2+2√3y2−2√3z2=0→n2⋅→BF=−2x2−2√3y2=0，
设x2=√3，则y2=−1，z2=1，
所以→n2=(√3，−1，1)，
设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α，
cos<→n1，→n2>=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=(0,2,3)⋅(√3,−1,1)√22+32⋅√(√3)2+(−1)2+12=1√13⋅√5=√6565，
所以sinα=8√6565．
点评：本题考查线面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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