（13分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin  A+\sqrt{3}\cos  A=2$．
（1）求$A$；
（2）若$a=2$，$\sqrt{2}b\sin  C=c\sin  2B$，求$\Delta ABC$周长．
分析：（1）由辅助角公式及角$A$的范围，可得角$A$的大小；
（2）由正弦定理可得$\cos  B$的值，再由角$B$的范围，可得角$B$的大小，进而可得角$C$的大小，再由正弦定理可得$b$，$c$的值，进而求出$\Delta ABC$的周长．
解：（1）因为$\sin  A+\sqrt{3}\cos  A=2$，
所以$2\sin  (A+\dfrac{\pi }{3})=2$，即$\sin  (A+\dfrac{\pi }{3})=1$，
由$A$为三角形内角得$A+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}$，
即$A=\dfrac{\pi }{6}$；
（2）因为$\sqrt{2}b\sin  c=c\sin  2B$，
$\sqrt{2}b\sin  C=2c\sin  B\cos  B$，由正弦定理可得：$\sqrt{2}bc=2bc\cos  B$，
可得$\cos  B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又因为$B\in (0,\pi )$，所以$B=\dfrac{\pi }{4}$，$C=\pi -A-B=\dfrac{7}{12}\pi$，
在$\Delta ABC$中，由正弦定理得$\dfrac{a}{\sin  A}=\dfrac{b}{\sin  B}=\dfrac{c}{\sin  C}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4$，
所以$b=4\sin  B=2\sqrt{2}$，$c=4\sin  C=4\sin  \dfrac{7\pi }{12}=4\sin  (\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{3})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以$\Delta ABC$的周长为$a+b+c=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
综上，$\Delta ABC$的周长为$2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
点评：本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．