91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2024 > 2024年新高考2 > 正文 返回 打印

2024年高考数学新高考Ⅱ-11

  2024-08-27 15:56:08  

(6分)设函数f(x)=2x33ax2+1,则(  )
A.当a>1时,f(x)有三个零点              
B.当a<0时,x=0f(x)的极大值点              
C.存在ab,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴              
D.存在a,使得点(1f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
答案:AD
分析:先对f(x)求导,根据a的范围可判断f(x)的单调性,进而确定极值或极值点,可判断AB
三次函数不存在对称轴,可判断C
a=2时,f(x)=2(x1)36(x1)3,关于点(1,3)中心对称,可判断D
解:由f(x)=2x33ax2+1,得f(x)=6x(xa)
对于A,当a>1时,f(x)(0,a)上单调递减,在(,0)(a,+)上单调递增;
f(x)的极大值f(0)=1>0f(x)的极小值f(a)=1a3<0,所以f(x)有三个零点,故A正确;
对于B,当a<0时,f(x)(a,0)上单调递减,在(,a)(0,+)上单调递增,x=0是极小值点,故B错误;
对于C,任何三次函数不存在对称轴,故C错误;
对于D,当a=2时,f(x)=2x36x2+1=2(x1)36(x1)3,关于点(1,3)中心对称,故D正确.
故选:AD.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,考查函数的性质,属于中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2024/2024xgk2/2024-08-27/34181.html