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2023年高考数学上海春16

  2023-07-08 14:36:22  

(5分)已知无穷数列$\{a_{n}\}$的各项均为实数,$S_{n}$为其前$n$项和,若对任意正整数$k > 2022$都有$\vert S_{k}\vert  > \vert S_{k+1}\vert$,则下列各项中可能成立的是$($  $)$
A.$a_{1}$,$a_{3}$,$a_{5}$,$\dotsb$,$a_{2n-1}$,$\dotsb$为等差数到,$a_{2}$,$a_{4}$,$a_{6}$,$\dotsb$,$a_{2n}$,$\dotsb$为等比数列              
B.$a_{1}$,$a_{3}$,$a_{5}$,$\dotsb$,$a_{2n-1}$,$\dotsb$为等比数列,$a_{2}$,$a_{4}$,$a_{6}$,$\dotsb$,$a_{2n}$,$\dotsb$为等差数列              
C.$a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,$\dotsb$,$a_{2022}$为等差数列,$a_{2022}$,$a_{2023}$,$\dotsb$,$a_{n}$,$\dotsb$为等比数列              
D.$a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,$\dotsb$,$a_{2022}$为等比数列,$a_{2022}$,$a_{2023}$,$\dotsb$,$a_{n}$,$\dotsb$为等差数列
答案:$C$
分析:由对任意正整数$k > 2022$,都有$\vert S_{k}\vert  > \vert S_{k+1}\vert$,可以知道$a_{2022}$,$a_{2033}$,$a_{2024}$,$\dotsb$,$a_{n}$不可能为等差数列,若$d=0$,$a_{n}=0$,则$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$,矛盾;若$d=0$,$a_{n} < 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow -\infty$,$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;若$d=0$,$a_{n} > 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow +\infty$,必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;若$d > 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$a_{n}\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow +\infty$必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;若$d < 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$a_{n}\rightarrow -\infty$,$S_{n}\rightarrow -\infty$,必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;即可判断.
解:由对任意正整数$k > 2022$,都有$\vert S_{k}\vert  > \vert S_{k+1}\vert$,可以知道$a_{2022}$,$a_{2033}$,$a_{2024}$,$\dotsb$,$a_{n}$不可能为等差数列,
因为若$d < 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$an\rightarrow -\infty$,$Sn\rightarrow -\infty$,必有$k$使得$\vert Sk+1\vert  > \vert Sk\vert$,矛盾;若$d=0$,$a_{n}=0$,则$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$,矛盾;
若$d=0$,$a_{n} < 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow -\infty$,$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;若$d=0$,$a_{n} > 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow +\infty$,必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;
若$d > 0$,当$n\rightarrow +\infty$,$a_{n}\rightarrow +\infty$,$S_{n}\rightarrow +\infty$必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert  > \vert S_{k}\vert$,矛盾;
所以选项$B$中的$a_{2}$,$a_{4}$,$a_{6}$,$\dotsb$,$a_{2n}$为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;
选项$D$中的$a_{2022}$,$a_{2023}$,$a_{2024}$,$\dotsb$,$a_{n}$为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;
选项$A$中的$a_{1}$,$a_{3}$,$a_{5}$,$\dotsb$,$a_{2n-1}$为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确;
事实上,只需取$a_1=a_2=\cdots =a_{2022}=-1,a_n=(\dfrac{1}{2})^n,n\geqslant 2023,n\in N$即可.
故选:$C$.
点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,属于中档题.

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