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2023年高考数学乙卷-理21

  2023-07-08 11:45:51  

(12分)已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1f(1))处的切线方程;
(2)是否存在ab,使得曲线y=f(1x)关于直线x=b对称,若存在,求ab的值,若不存在,说明理由;
(3)若f(x)(0,+)存在极值,求a的取值范围.
答案:(1)y=ln2(x1);(2)a=12b=12;(3)(0,12)
分析:(1)a=1时,求得f(1)=0,再根据导数的几何意义求得切线斜率,利用点斜式求解即可;
(2)根据函数的定义域和对称性可求得b=12,再利用赋值法求a
(3)要使f(x)(0,+)存在极值点,则f(x)=0有正根,即方程ln(x+1)ax2+xx+1=0有正根,记g(x)=ln(x+1)ax2+xx+1x>0,利用导数与极值的关系分类讨论即可求解.
解:(1)a=1时,f(1)=0
f(x)=1x2ln(x+1)+(1x1)(1x+1)f(1)=ln2
曲线y=f(x)在点(1f(1))处的切线方程为y=ln2(x1)
(2)f(1x)=(x+a)ln(x+1x),定义域为(1)(0+)
要使函数f(1x)的图像关于x=b对称,则由x0,且x1,可知b=12
f(1x)=(x+a)ln(x+1x)的图像关于x=12对称,
f(1)=(1+a)ln2f(2)=(2+a)ln12=(2a)ln2
1+a=2a,解得a=12
综上,a=12b=12
(3)f(x)=1x2ln(x+1)+(1x+a)(1x+1)=1x2[ln(x+1)ax2+xx+1]
要使f(x)(0,+)存在极值点,则方程ln(x+1)ax2+xx+1=0有正根,
g(x)=ln(x+1)ax2+xx+1x>0g(x)=x(1+x)2×(ax+2a1)
①当a0时,g(x)>0,故g(x)(0,+)上单调递增,g(x)>g(0)=0,不符合题意;
②当a12时,g(x)<0,故g(x)(0,+)上单调递减,g(x)<g(0)=0,不符合题意;
③当0<a<12时,令g(x)<00<x<12aa,令g(x)>0x>12aa
g(x)(0,12aa)上单调递减,在(12aa+)上单调递增,
g(x)x=12aa时,取得最小值,令m(x)=1x+lnx(0<x<1),则m(x)=x+1x>0
函数m(x)在定义域内单调递增,m(x)<m(1)=0
据此可得1x+lnx<0恒成立,
g(12aa)=12a+ln2a<0
h(x)=lnxx2+x(x>0),则h(x)=2x2+x+1x
x(0,1)时,h(x)>0h(x)单调递增,
x(1,+)时,h(x)<0h(x)单调递减,
h(x)h(1)=0,即lnxx2x(取等条件为x=1)
所以g(x)=2axln(x+1)>2ax[(x+1)2(x+1)]=2ax(x2+x)
g(2a1)>2a(2a1)[(2a1)2+(2a1)]=0,且注意到g(0)=0
根据零点存在性定理可知:g(x)在区间(0,+)上存在唯一零点x0
x(0,x0)时,g(x)<0g(x)单调减,
x(x0+)时,g(x)>0g(x)单调递增,
所以g(x0)<g(0)=0
n(x)=lnxx,则n(x)=1x12x=2x2x
则函数n(x)(0,4)上单调递增,在(4,+)上单调递减,
所以n(x)n(4)=ln42,所以lnx<x
所以g(4a2)=(4a2+1)[(a(4a2+1)ln(4a2+1)1a4a2+12a+1]
>(4a2+1)[(4a+aln(4a2+1)+a12a+1]
=(4a2+1)[(4aln(4a2+1)]
>(4a2+1)(4a4a2+1)
>(4a2+1)16a24a214a+4a2+1=(4a2+1)12a214a+4a2+1>0
所以函数g(x)在区间(0,+)上存在变号零点,符合题意;
综合上面可知:实数a得取值范围是(0,12)
点评:本题考查利用导数求切线方程,利用函数对称性求参数,考查利用导数研究函数的极值问题,体现了转化的思想方法,属于难题.

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