2023年高考数学甲卷-理11 |
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2023-07-08 11:26:15 |
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(5分)在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45∘,则ΔPBC的面积为( ) A.2√2 B.3√2 C.4√2 D.5√2 答案:C 分析:解法一:先根据对称性易知∠PDB=∠PCA=45∘,再根据余弦定理求出PB,然后用余弦定理求ΔPBC的一个角的余弦值,从而得该角的正弦值,最后代入三角形面积公式,即可得解. 解法二:设P在底面的射影为H,连接HC,设∠PCH=θ,∠ACH=α,且α∈(0,π2),则∠HCD=45∘−α,或∠HCD=45∘+α,易知cos∠PCD=23,又∠PCA=45∘,再根据最小角定理及三角形面积公式,即可求解. 解:解法一:∵四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形, 又PC=PD=3,∠PCA=45∘, ∴根据对称性易知∠PDB=∠PCA=45∘, 又底面正方形ABCD得边长为4,∴BD=4√2, ∴在ΔPBD中,根据余弦定理可得: PB=√(4√2)2+32−2×4√2×3×√22=√17, 又BC=4,PC=3,∴在ΔPBC中,由余弦定理可得: cos∠PCB=16+9−172×4×3=13,∴sin∠PCB=2√23, ∴ΔPBC的面积为12×BC×PC×sin∠PCB=12×4×3×2√23=4√2. 解法二:如图,设P在底面的射影为H,连接HC,
设∠PCH=θ,∠ACH=α,且α∈(0,π2), 则∠HCD=45∘−α,或∠HCD=45∘+α, 易知cos∠PCD=23,又∠PCA=45∘, 则根据最小角定理(三余弦定理)可得: {cos∠PCA=cosθcosαcos∠PCD=cosθcos∠HCD, ∴{√22=cosθcosα23=cosθcos(45∘−α)或{√22=cosθcosα23=cosθcos(45∘+α), ∴cos(45∘−α)cosα=2√23或cos(45∘+α)cosα=2√23, ∴cosα+sinαcosα=43或cosα−sinαcosα=43, ∴tanα=13或tanα=−13,又α∈(0,π2), ∴tanα=13,∴cosα=3√10,sinα=1√10, ∴√22=3√10cosθ,∴cosθ=√53, 再根据最小角定理可得: cos∠PCB=cosθcos(45∘+α)=√53×√22(3√10−1√10)=13, ∴sin∠PCB=2√23,又BC=4,PC=3, ∴ΔPBC的面积为12×BC×PC×sin∠PCB=12×4×3×2√23=4√2. 故选:C. 点评:本题考查三角形面积的求解,余弦定理的应用,三角形面积公式的应用,最小角定理的应用,化归转化思想,属中档题.
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