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2023年高考数学甲卷-理11

  2023-07-08 11:26:15  

(5分)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4PC=PD=3PCA=45,则ΔPBC的面积为(  )
A.22              B.32              C.42              D.52
答案:C
分析:解法一:先根据对称性易知PDB=PCA=45,再根据余弦定理求出PB,然后用余弦定理求ΔPBC的一个角的余弦值,从而得该角的正弦值,最后代入三角形面积公式,即可得解.
解法二:设P在底面的射影为H,连接HC,设PCH=θACH=α,且α(0,π2),则HCD=45α,或HCD=45+α,易知cosPCD=23,又PCA=45,再根据最小角定理及三角形面积公式,即可求解.
解:解法一:四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,
PC=PD=3PCA=45
根据对称性易知PDB=PCA=45
又底面正方形ABCD得边长为4,BD=42
ΔPBD中,根据余弦定理可得:
PB=(42)2+322×42×3×22=17
BC=4PC=3ΔPBC中,由余弦定理可得:
cosPCB=16+9172×4×3=13sinPCB=223
ΔPBC的面积为12×BC×PC×sinPCB=12×4×3×223=42
解法二:如图,设P在底面的射影为H,连接HC

PCH=θACH=α,且α(0,π2)
HCD=45α,或HCD=45+α
易知cosPCD=23,又PCA=45
则根据最小角定理(三余弦定理)可得:
{cosPCA=cosθcosαcosPCD=cosθcosHCD
{22=cosθcosα23=cosθcos(45α){22=cosθcosα23=cosθcos(45+α)
cos(45α)cosα=223cos(45+α)cosα=223
cosα+sinαcosα=43cosαsinαcosα=43
tanα=13tanα=13,又α(0,π2)
tanα=13cosα=310sinα=110
22=310cosθcosθ=53
再根据最小角定理可得:
cosPCB=cosθcos(45+α)=53×22(310110)=13
sinPCB=223,又BC=4PC=3
ΔPBC的面积为12×BC×PC×sinPCB=12×4×3×223=42
故选:C
点评:本题考查三角形面积的求解,余弦定理的应用,三角形面积公式的应用,最小角定理的应用,化归转化思想,属中档题.

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