| 2022年高考数学浙江19 |
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2022-12-16 20:48:15 |
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（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60∘，二面角F−DC−B的平面角为60∘．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．
证明：(I)由于CD⊥CB，CD⊥CF，
平面ABCD⋂平面CDEF=CD，CF⊂平面CDEF，CB⊂平面ABCD，
所以∠FCB为二面角F−DC−B的平面角，
则∠FCB=60∘，CD⊥平面CBF，则CD⊥FN．
又CF=√3(CD−EF)=2√3,CB=√3(AB−CD)=2√3，
则ΔBCF是等边三角形，则CB⊥FN，
因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⋂BC=C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB，
所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN，
又因为DC⋂CB=C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD；
解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系：
于是B(0,√3,0),A(5,√3,0),F(0,0,3),E(1,0,3),D(3,−√3,0)，则M(3,√32,32)，
→BM=(3,−√32,32),→DA=(2,2√3,0),→DE=(−2,√3,3)，
设平面ADE的法向量→n=(x，y，z)，
则{→n⋅→DA=0→n⋅→DE=0，∴{2x+2√3y=0−2x+√3y+3z=0，令x=√3，则y=−1，z=√3，
∴平面ADE的法向量→n=(√3,−1,√3)，
设BM与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|→BM⋅n||→BM||n|=5√714．
点评：本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
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