[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知$a$，$b$，$c$都是正数，且${a}^{\frac{3}{2}}+{b}^{\frac{3}{2}}+{c}^{\frac{3}{2}}=1$，证明：
（1）$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$；
（2）$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$．
分析：结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
解：（1）证明：$\because a$，$b$，$c$都是正数，
$\therefore$${a}^{\frac{3}{2}}+{b}^{\frac{3}{2}}+{c}^{\frac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc}$，当且仅当$a=b=c={3}^{-\frac{2}{3}}$时，等号成立．
因为${a}^{\frac{3}{2}}+{b}^{\frac{3}{2}}+{c}^{\frac{3}{2}}=1$，
所以$1\geqslant 3(abc){}^{\frac{1}{2}}$，
所以$\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\frac{1}{2}}$，
所以$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$，得证．
（2）根据基本不等式$b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$，$a+c\geqslant 2\sqrt{ac}$，$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$，

$\therefore$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

$\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}$

$=\dfrac{{a}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

$=\dfrac{{a}^{\frac{3}{2}}+{b}^{\frac{3}{2}}+{c}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$，
当且仅当$a=b=c$时等号成立，故得证．
点评：本题考查基本不等式的应用，属于中档题．