2022年高考数学新高考Ⅱ-15 |
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2022-12-16 17:32:15 |
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(5分)设点$A(-2,3)$,$B(0,a)$,若直线$AB$关于$y=a$对称的直线与圆$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$有公共点,则$a$的取值范围是 $[\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{3}{2}]$ . 分析:求出$AB$的斜率,然后求解直线$AB$关于$y=a$对称的直线方程,利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径,列出不等式求解$a$的范围即可. 解:点$A(-2,3)$,$B(0,a)$,$k_{AB}=\dfrac{a-3}{2}$,所以直线$AB$关于$y=a$对称的直线的斜率为:$\dfrac{3-a}{2}$,所以对称直线方程为:$y-a=\dfrac{3-a}{2}\cdot x$,即:$(3-a)x-2y+2a=0$, $(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$的圆心$(-3,-2)$,半径为1, 所以$\dfrac{\vert 3(a-3)+4+2a\vert }{\sqrt{4+(3-a)^{2}}}\leqslant 1$,得$12a^{2}-22a+6\leqslant 0$,解得$a\in [\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{3}{2}]$. 故答案为:$[\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{3}{2}]$. 点评:本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
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