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专题01 函数问题的灵魂——定义域

  2018-07-02 20:50:52  


【高考地位】
在函数的三要素中,函数的定义域是函数的灵魂,对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题,许多问题的解决都是必须先解决定义域,不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出,本课时内容也是高考考查的重点之一,题型是选择题、填空题.试题难度较小.
【方法点评】

方法一  直接法
使用情景:
函数$f(x)$的解析式已知的情况下
解题模板:
第一步  找出函数$f(x)$每个式子有意义的条件;
第二步   列出不等式或不等式组;
第三步   解不等式或不等式组,即得到函数$f(x)$的定义域.

例1  求函数$y=\sqrt{2{{x}^{2}}+5x-3}$的定义域.

答案:$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3\}$
解析:要使原式有意义要满足:
$2{{x}^{2}}+5x-3\geqslant 0$
所以$(2x-1)(x+3)\geqslant 0$
解得$x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3$
所以函数的定义域为$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$或$x\leqslant -3\}$
点评:对于类似例题的结构单一的函数,可以直接列出不等式再解答即可得到函数的定义域.

变式演练1:求函数$y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}$的定义域.

答案:$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$
解析:要使原式有意义需要满足:$\dfrac{x+2}{x+1}\geqslant 0$,
解得$x>-1或x\leqslant -2$
所以函数的定义域为$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$。

例2.函数$f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}+x-3}+{{\log }_{3}}(3+2x-{{x}^{2}})$定义域为________.
答案:$[1,3)$
解析:
试题分析:由题意得,函数满足$\begin{cases} 2{{x}^{2}}+x-3\geqslant 0 \\ 3+2x-{{x}^{2}}>0 \end{cases} $,
解得$\left\{ \begin{align}& x\leqslant -\dfrac{3}{2}或x\geqslant 1 \\& -1<x<3 \end{align} \right.$,
即$1\leqslant x<3$,
所以函数的定义域为$[1,3)$.
考点:函数的定义域.
点评:本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用,解答中根据函数的解析式,列出相应的不等式组,求解每个不等式的解集,取交集得到函数的定义域,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题.

变式演练2:若函数$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$的定义域为$R$,则实数$a$取值范围是(   )
A.$\left[ -2,2 \right]$                B.$\left( 2,+\infty  \right)$            C.$\left( -\infty ,2 \right)$               D.$\left( -2,2 \right)$
答案:A
解析:
试题分析:由于函数$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$的定义域为R,
所以${{x}^{2}}+ax+1\geqslant \text{0}$在R上恒成立,
即方程${{x}^{2}}+ax+1\text{=0}$至多有一个解,
所以$\Delta \text{=}{{a}^{\text{2}}}-4\leqslant \text{0}$,
解得$-2\leqslant a\leqslant 2$,
则实数$a$的取值范围是$\left[ -2,2 \right]$.故选A.
考点:二次函数的图像与性质.

例3.求函数$y={{\log }_{a}}({{a}^{x}}-1)(a>0 \text{且}a\ne 1)$的定义域.
答案:
当$a>1$时,函数的定义域为$\{x|x>0\}$;
当$0<a<1$时,函数的定义域为$\{x|x<0\}$.
解析:要使原式有意义需要满足${{a}^{x}}-1>0$,
即${{a}^{x}}>1={{a}^{0}}$
当$a>1$时,$y={{a}^{x}}$是$R$上的增函数,所以$x>0$;
当$0<a<1$时,$y={{a}^{x}}$是$R$上的减函数,所以$x<0$;
综上所述,当$a>1$时,函数的定义域为$\{x|x>0\}$;
当$0<a<1$时,函数的定义域为$\{x|x<0\}$.
点评:
(1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论.
(2)对于指数函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数$a$的取值范围,一般要分类讨论.

变式演练3:已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$的定义域是R,则实数$a$的取值范围是(   )
A.$-12<a\leqslant 0$     B. $-12<a<0$      C.$a>\dfrac{1}{3}$   D.$a\leqslant \dfrac{1}{3}$
答案:A
解析:
试题分析:函数$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$的定义域为R,只需分母不为0即可,
所以$a=0$或$\begin{cases} a\ne 0  \\  \Delta ={{a}^{2}}-4a\times (-3)<0  \end{cases} $
可得$-12<a\leqslant 0$,
故选A。
考点:函数的定义域及其求法.



高考真题:
【2013年高考数学广东(文)2】
【2013年高考数学山东(文)5】
2013年高考数学安徽(文)11】
【2014年高考数学江西(理)2】
【2014年高考数学山东(理)3】
【2014年高考数学山东(文)3】
【2015年高考数学重庆(文)3】
【2015年高考数学湖北(文)6】
【2016年高考数学江苏5】
 
方法二  抽象复合法
使用情景:涉及到抽象函数
解题模板:利用抽象复合函数的性质解答:
(1)已知原函数$f(x)$的定义域为$(a,b)$,求复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域:
只需解不等式$a<g(x)<b$,不等式的解集即为所求函数的定义域.
(2)已知复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域为$\left( a,b \right)$,求原函数$f(x)$的定义域:
只需根据$a<x<b$求出函数$g(x)$的值域,即得原函数$f(x)$的定义域.

例4求下列函数的定义域:
(1)已知函数$f(x)$的定义域为$\left[ -2,2 \right]$,求函数$y=f({{x}^{2}}-1)$的定义域.
(2)已知函数$y=f(2x+4)$的定义域为$\left[ 0,1 \right]$,求函数$f(x)$的定义域.
(3)已知函数$f(x)$的定义域为$\left[ -1,2 \right]$,求函数$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$的定义域.
答案:
(1)$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$;
(2)$\left[ 4,6 \right]$;
(3)$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$.
解析:
(1)
令$-2\leqslant {{x}^{2}}-1\leqslant 2$,
得$-1\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$,
即$0\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$,
从而$-\sqrt{3}\le x\leqslant \sqrt{3}$
∴函数$y=f({{x}^{2}}-1)$的定义域为$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$.
(2)
∵$y=f(2x+4)$的定义域为$\left[ 0,1 \right]$,
即在$y=f(2x+4)$中$x\in \left[ 0,1 \right]$,
令$t=2x+4$,$x\in \left[ 0,1 \right]$
则$t\in \left[ 4,6 \right]$,
即在$f(t)$中,$t\in \left[ 4,6 \right]$,
∴$f(x)$的定义域为$\left[ 4,6 \right]$.
(3)
由题得$\left\{ \begin{matrix}  -1\leqslant x+1\leqslant 2  \\  -1\le {{x}^{2}}-1\leqslant 2  \end{matrix} \right.$
∴$-\sqrt{3}\le x\leqslant 1$ 
∴函数$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$的定义域为$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$.
点评:
(1)已知原函数$f(x)$的定义域为$\left( a,b \right)$,求复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域:只需解不等式$a<g(x)<b$,不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子;
(2)已知复合函数$f\left[ g(x) \right]$的定义域为$\left( a,b \right)$,求原函数$f(x)$的定义域:只需根据$a<x<b$求出函数$g(x)$的值域,即得原函数$f(x)$的定义域.第2小题就是典型的例子;
(3)求函数$y=f(x)+g(x)$的定义域,一般先分别求函数$y=f(x)$和函数$y=g(x)$的定义域$A$和$B$,再求$A\cap B$,即为所求函数的定义域.

变式演练4:若函数$y=f\left( x \right)$的定义域是$\left[ 1,2016 \right]$,则函数$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$的定义域是(    )
A.$\left( 0,2016 \right]$     B.$\left[ 0,2015 \right]$      C.$\left( 1,2016 \right]$     D.$\left[ 1,2017 \right]$
答案:B
解析:
试题分析:因为函数$y=f\left( x \right)$的定义域是$\left[ 1,2016 \right]$,即$1\leqslant x\leqslant 2016$,则函数$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$的定义域是$1\leqslant x+1\leqslant 2016$,∴$0\leqslant x\leqslant 2015$,即$x\in \left[ 0,2015 \right]$,故选B
考点:复合函数的定义域

变式演练5:已知函数$f\left( 2x+1 \right)$的定义域为$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$,则$f(x)$的定义域为(    )
A.$\left( -\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{4} \right)$      B.$\left( -1,\dfrac{3}{2} \right)$      C.$\left( -3,2 \right)$      D.$\left( -3,3 \right)$
答案:$C$.
解析:因为函数$f\left( 2x+1 \right)$的定义域为$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$,所以$2x+1\in (-3,2)$,所以函数$f(x)$的定义域为$(-3,2)$.故应选$C$.

变式演练6:已知函数$y=f\left( x+1 \right)$的定义域是$\left[ -2,3 \right]$,则$y=f\left( x-1 \right)$的定义域是(   )
A.$\left[ 0,5 \right]$ B.$\left[ -1,4 \right]$ C.$\left[ -3,2 \right]$ D.$\left[ -2,3 \right]$
答案:A
解析:
试题分析:因为$y=f\left( x+1 \right)$的定义域是$\left[ -2,3 \right]$,
即$x\in \left[ -2,3 \right]$,
所以$x+1\in \left[ -1,4 \right]$,
所以函数$f(x)$的定义域为$\left[ -1,4 \right]$,
由$-1\leqslant x-1\leqslant 4$得$0\leqslant x\leqslant 5$,
所以函数$y=f\left( x-1 \right)$的定义域是$\left[ 0,5 \right]$,
故选A。
考点:抽象函数的定义域.

方法三  实际问题的定义域
使用情景:函数的实际应用问题
解题模板:第一步    求函数的自变量的取值范围;
第二步    考虑自变量的实际限制条件;
第三步    取前后两者的交集,即得函数的定义域.
                    
例5   用长为$L$的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示).若矩形底边长为$2x$,求此框架围成的面积$y$与关于$x$的函数解析式,并求出它的定义域.

答案:$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$,函数的定义域为$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
解析:如图,设$AB=2x$,则$\overset\frown{CD}=\pi x$
于是$AD=\dfrac{L-2x-\pi x}{2}$
因此$y=2x\times \dfrac{L-2x-\pi x}{2}+\dfrac{\pi {{x}^{2}}}{2}$
即$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$
再由题得$\left\{ \begin{matrix}   2x>0  \\   \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0  \end{matrix} \right.$
解之得$0<x<\dfrac{L}{2+\pi }$
所以函数解析式是$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$,
函数的定义域是$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
点评:
(1)求实际问题中函数的定义域,不仅要考虑解析式本身有意义的条件,还有保证实际意义;
(2)该题中考虑实际意义时,必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义,即$\left\{ \begin{matrix}  2x>0  \\   \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0  \end{matrix} \right.$,不能遗漏.

变式演练7:某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为$\dfrac{80\pi }{3}$立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;

答案:$y=2\pi \cdot \dfrac{80+(2c-4){{r}^{3}}}{r}$,定义域为$(0,2]$.
解析:由体积$V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\pi {{r}^{2}}l=\dfrac{80\pi }{3}$,
解得$l=\dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}$
∴$y=2\pi rl\times 3+4\pi {{r}^{2}}\times c$
$=6\pi r\times \dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}+4c\pi {{r}^{2}}$
$=2\pi \cdot \dfrac{80+(2c-4){{r}^{3}}}{r}$
又$l\geqslant 2r$,即$\dfrac{80-4{{r}^{3}}}{3{{r}^{2}}}\geqslant 2r$,解得$0<r\leqslant 2$

 

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