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2021年高考数学浙江15

  2022-05-03 08:25:41  

15.(6分)袋中有4个红球,$m$个黄球,$n$个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为$\xi$,若取出的两个球都是红球的概率为$\dfrac{1}{6}$,一红一黄的概率为$\dfrac{1}{3}$,则$m-n=$____,$E(\xi )=$____.
分析:根据取出的两个球都是红球的概率为$\dfrac{1}{6}$,一红一黄的概率为$\dfrac{1}{3}$,得到关于$m$,$n$的方程,然后求出$m$,$n$的值,得到$m-n$的值;先确定$\xi$的可能取值,求出相应的概率,由数学期望的计算公式求解即可.
解:由题意,$P(\xi =2)=\dfrac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{36}$,
又一红一黄的概率为$\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{m}^{1}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{36}$,
所以${C}_{m+n+4}^{2}=36,{C}_{m}^{1}=3$,
解得$m=3$,$n=2$,故$m-n=1$;
由题意,$\xi$的可能取值为0,1,2,
所以$P(\xi =0)=\dfrac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$,
$P(\xi =1)=\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{10}{18}$,
$P(\xi =2)=\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{18}$,
所以$E(\xi )=0\times \dfrac{5}{18}+1\times \dfrac{10}{18}+2\times \dfrac{3}{18}=\dfrac{8}{9}$.
故答案为:1;$\dfrac{8}{9}$.
点评:本题考查了古典概型的概率,组合数公式的应用,离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望,考查了运算能力,属于基础题.

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