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2021年高考数学天津16

  2022-05-03 08:25:50  

16.(14分)在$\Delta ABC$中,内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,且$\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$,$b=\sqrt{2}$.
(1)求$a$的值;
(2)求$\cos C$的值;
(3)求$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})$的值.
分析:(1)由题意利用正弦定理,求得$a$的值.
(2)由题意利用余弦定理计算求得结果.
(3)先来用二倍角公式求得$2C$的正弦值和余弦值,再利用两角和的正弦公式求得$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})$的值.
解:(1)$\because \Delta ABC$中,$\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$,$\therefore a:b:c=2:1:\sqrt{2}$,
$\because b=\sqrt{2}$,$\therefore a=2b=2\sqrt{2}$,$c=\sqrt{2}b=2$.
(2)$\Delta ABC$中,由余弦定理可得$\cos C=\dfrac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}=\dfrac{8+2-4}{2\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3}{4}$.
(3)由(2)可得$\sin C=\sqrt{{1-\cos }^{2}C}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$,
$\therefore \sin 2C=2\sin C\cos C=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$,$\cos 2C=2\cos ^{2}C-1=\dfrac{1}{8}$,
$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})=\sin 2C\cos \dfrac{\pi }{6}-\cos 2C\sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{3\sqrt{21}-1}{16}$.
点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用,考查了运算求解能力,属于中档题.

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