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2021年高考数学乙卷-文4

  2022-05-03 08:10:39  

4.(5分)函数$f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}$的最小正周期和最大值分别是(  )
A.$3\pi$和$\sqrt{2}$              B.$3\pi$和2              C.$6\pi$和$\sqrt{2}$              D.$6\pi$和2
分析:化简函数的表达式,再利用三角函数的周期,正弦函数的最值求解即可.
解:$\because f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}=\sqrt{2}\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})$,
$\therefore T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{3}}=6\pi$.
当$\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})=1$时,函数$f(x)$取得最大值$\sqrt{2}$;
$\therefore$函数$f(x)$的周期为$6\pi$,最大值$\sqrt{2}$.
故选:$C$.
点评:本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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