20．（12分）设函数$f(x)=a^{2}x^{2}+ax-3lnx+1$，其中$a>0$．
（1）讨论$f(x)$的单调性；
（2）若$y=f(x)$的图像与$x$轴没有公共点，求$a$的取值范围．
分析：（1）对$f(x)$求导得$f\prime (x)=\dfrac{(2ax+3)(ax-1)}{x}$，分析$f\prime (x)$的正负，即可得出$f(x)$的单调区间．
（2）由（1）可知，$f(x)_{min}=f(\dfrac{1}{a})$，由$y=f(x)$的图像与$x$轴没有公共点，得$3+3lna>0$，即可解出$a$的取值范围．
解：（1）$f\prime (x)=2a^{2}x+a-\dfrac{3}{x}=\dfrac{2{a}^{2}{x}^{2}+ax-3}{x}=\dfrac{(2ax+3)(ax-1)}{x}$，$x>0$，
因为$a>0$，
所以$-\dfrac{3}{2a}<0<\dfrac{1}{a}$，
所以在$(0,\dfrac{1}{a})$上，$f\prime (x)<0$，$f(x)$单调递减，
在$(\dfrac{1}{a}$，$+\infty )$上，$f\prime (x)>0$，$f(x)$单调递增．
综上所述，$f(x)$在$(0,\dfrac{1}{a})$上单调递减，在$(\dfrac{1}{a}$，$+\infty )$上$f(x)$单调递增．
（2）由（1）可知，$f(x)_{min}=f(\dfrac{1}{a})=a^{2}\times (\dfrac{1}{a})^{2}+a\times \dfrac{1}{a}-3ln\dfrac{1}{a}+1=3+3lna$，
因为$y=f(x)$的图像与$x$轴没有公共点，
所以$3+3lna>0$，
所以$a>\dfrac{1}{e}$，
所以$a$的取值范围为$(\dfrac{1}{e}$，$+\infty )$．
点评：本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．