5.(5分)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( ) A.20+12√3 B.28√2 C.563 D.28√23 分析:过A作AE⊥A1B1,得A1E=4−22=1,AE=√AA12−A1E2=√3.连接AC,A1C1,过A作AG⊥A1C1,求出A1G=√2,从而AG=√AA12−A1G2=√2,由此能求出正四棱台的体积. 解:如图ABCD−A1B1C1D1为正四棱台,AB=2,A1B1=4,AA1=2.
 在等腰梯形A1B1BA中,过A作AE⊥A1B1,可得A1E=4−22=1, AE=√AA12−A1E2=√4−1=√3. 连接AC,A1C1, AC=√4+4=2√2,A1C1=√16+16=4√2, 过A作AG⊥A1C1,A1G=4√2−2√22=√2, AG=√AA12−A1G2=√4−2=√2, ∴正四棱台的体积为: V=S+S+√S⋅S3×h =22+42+√22×423×√2 =28√23. 故选:D.
点评:本题考查四棱台的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,是中档题.
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