2021年高考数学新高考Ⅰ-11 |
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2021-06-14 21:42:57 |
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(5分)已知点$P$在圆$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$上,点$A(4,0)$,$B(0,2)$,则( ) A.点$P$到直线$AB$的距离小于10 B.点$P$到直线$AB$的距离大于2 C.当$\angle PBA$最小时,$\vert PB\vert =3\sqrt{2}$ D.当$\angle PBA$最大时,$\vert PB\vert =3\sqrt{2}$ 分析:求出过$AB$的直线方程,再求出圆心到直线$AB$的距离,得到圆上的点$P$到直线$AB$的距离范围,判断$A$与$B$;画出图形,由图可知,当过$B$的直线与圆相切时,满足$\angle PBA$最小或最大,求出圆心与$B$点间的距离,再由勾股定理求得$\vert PB\vert$判断$C$与$D$. 解:$\because A(4,0)$,$B(0,2)$, $\therefore$过$A$、$B$的直线方程为$\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$,即$x+2y-4=0$, 圆$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$的圆心坐标为$(5,5)$, 圆心到直线$x+2y-4=0$的距离$d=\dfrac{\vert 1\times 5+2\times 5-4\vert }{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11\sqrt{5}}{5}>4$, $\therefore$点$P$到直线$AB$的距离的范围为$[\dfrac{11\sqrt{5}}{5}-4$,$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}+4]$, $\because$$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}<5$,$\therefore$$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}-4<1$,$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}+4<10$, $\therefore$点$P$到直线$AB$的距离小于10,但不一定大于2,故$A$正确,$B$错误; 如图,当过$B$的直线与圆相切时,满足$\angle PBA$最小或最大$(P$点位于$P_{1}$时$\angle PBA$最小,位于$P_{2}$时$\angle PBA$最大), 此时$\vert BC\vert =\sqrt{(5-0)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$, $\therefore \vert PB\vert =\sqrt{\vert BC{\vert }^{2}-{4}^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,故$CD$正确. 故选:ACD.
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查转化思想与数形结合思想,是中档题.
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