甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球。现从甲、乙两口袋中各任取个球交换放入另一口袋里，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为。
（1）求、和、。
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）。
（1）由题意，当时，，。
当时，对甲口袋而言：
甲口袋中恰有个黑球对应的情况有：
（i）第一次取走黑球，第二次拿回黑球且取出白球，
该种情况对应的概率为。
（ii）第一次取走白球，第二次取走白球，
该种情况对应的概率为，
所以。
（i）第一次取走黑球，第二次取走白球且拿回白球，
（ii）第一次取走黑球，第二次取走黑球且拿回黑球，
（iii）第一次取走白球，第二次取走黑球，
综上所述，。
即，，，。
（2）注意到两个袋子一共有个黑球和个白球，
在重复次这样的操作后，甲口袋中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为，没有黑球的概率为，
所以在第次操作后，甲口袋里恰有个黑球的情况有：
（i）在第次操作后，甲口袋恰有个黑球，在第次操作中，只需要取走一个白球即可，
此时对应的概率为。
（ii）在第次操作后，甲口袋里恰有个黑球，在第次操作中，需要取走一个白球并拿回一个黑球，
综上所述。
在第次操作后，甲口袋里恰有个黑球的情况有：
（i）在第次操作后，甲口袋里恰有个黑球，在第次操作中，只需要取走一个黑球即可，
（ii）在第次操作后，甲口袋里恰有个黑球，在第次操作中，需要取走一个白球并拿回一个白球或取走一个黑球并拿回一个黑球，
（iii）在第次操作后，甲口袋里没有黑球，在第次操作中，只需要取回一个黑球即可，
即，
①②得到，
因为在重复次这样的操作后，甲口袋中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为，没有黑球的概率为，
所以随机变量的分布列如下表所示，
所以，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
本题主要考查古典概型和等比数列。
（1）分甲口袋中恰有个黑球和恰有个黑球讨论，计算每种情况下的概率即可得到答案。
（2）次操作后，分甲口袋中恰有个黑球和恰有个黑球讨论，考虑第次操作后的情况进行概率计算，即可得到递推关系式以及数学期望。
