双曲线:,圆:()在第一象限交点为,,曲线:。
(1)若,求。
(2)若,与轴交点记为、,是曲线上一点,且在第一象限,并满足,求。
(3)过点且斜率为的直线交曲线于,两点,用的代数式表示,并求出的取值范围。
(1)因为点是双曲线和圆的交点,且,
所以,
由①可得,
将其代入到②中,得到,
所以,解得(舍去负值),
所以。
(2)当时,双曲线的方程为,曲线的方程为,
所以,,
所以、分别为双曲线的左右焦点,
若点在曲线上的圆的部分上,则,不符合题意,舍去。
所以点在曲线上的双曲线部分,
所以根据双曲线的性质可得,
所以在中,由余弦定理可得:
。
(3)设圆的半径为,则。
由题意设直线的方程为,
注意到直线与双曲线的一条渐近线平行,且不经过原点,
所以直线与双曲线只有一个交点,
因为原点到直线的距离为,
即原点到直线的距离等于圆的半径,
所以直线与圆相切。
记直线与圆的切点为点,连接,,如下图所示。
因为直线与圆相切,切点为点,
所以直线的方程为,
联立得到,
结合图象可知,若要使得直线与曲线有两个交点,
则直线与圆的切点在点的右下方,
若点在点的右下方,
则,即,
所以(舍去)或,
即。
因为,
所以
,
本题主要考查圆锥曲线、平面向量的数量积以及正余弦定理的应用。
(1)因为点是双曲线和圆的交点,所以将代入双曲线和圆的方程,即可求出。
(2)首先根据椭圆的性质证明点在曲线上的双曲线部分,然后根据双曲线的性质得到,在中,运用余弦定理即可求出。
(3)首先根据题意得出直线与双曲线的一条渐近线平行,且直线与圆相切,并据此求出切点。然后结合图象得到点在点的右下方,据此求出。因为,所以可求出,结合即可求出的取值范围。