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2020年高考数学上海20

  2020-11-23 22:31:48  

(2020年上海卷计算题)

双曲线,圆)在第一象限交点为,曲线

(1)若,求

(2)若轴交点记为是曲线上一点,且在第一象限,并满足,求

(3)过点且斜率为的直线交曲线两点,用的代数式表示,并求出的取值范围。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):数学第20题
【答案】

(1)因为点是双曲线和圆的交点,且

所以

由①可得

将其代入到②中,得到

所以,解得(舍去负值),

所以

(2)当时,双曲线的方程为,曲线的方程为

所以

所以分别为双曲线的左右焦点,

若点在曲线上的圆的部分上,则,不符合题意,舍去。

所以点在曲线上的双曲线部分,

所以根据双曲线的性质可得

所以

所以在中,由余弦定理可得:

所以

(3)设圆的半径为,则

由题意设直线的方程为

注意到直线与双曲线的一条渐近线平行,且不经过原点,

所以直线与双曲线只有一个交点,

因为原点到直线的距离为

即原点到直线的距离等于圆的半径,

所以直线与圆相切。

记直线与圆的切点为点,连接,如下图所示。

因为直线与圆相切,切点为点

所以

所以直线的方程为

联立得到

所以

结合图象可知,若要使得直线与曲线有两个交点,

则直线与圆的切点在点的右下方,

联立得到

若点在点的右下方,

,即

所以

所以(舍去)或

因为

所以

所以

【解析】

本题主要考查圆锥曲线、平面向量的数量积以及正余弦定理的应用。

(1)因为点是双曲线和圆的交点,所以将代入双曲线和圆的方程,即可求出

(2)首先根据椭圆的性质证明点在曲线上的双曲线部分,然后根据双曲线的性质得到,在中,运用余弦定理即可求出

(3)首先根据题意得出直线与双曲线的一条渐近线平行,且直线与圆相切,并据此求出切点。然后结合图象得到点在点的右下方,据此求出。因为,所以可求出,结合即可求出的取值范围。

【考点】
解三角形在平面几何问题中的应用平面向量的数量积计算双曲线的概念、性质与基本量的计算平面向量数量积的应用正余弦定理的应用平面向量的数量积圆锥曲线


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