如图，已知椭圆：，抛物线：（），点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）。
（1）若，求抛物线的焦点坐标。
（2）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值。
（1）由题意，抛物线：的焦点在轴上，
因为，
则焦点的横坐标为，
所以抛物线的焦点坐标为。
（2）如图，连接并延长交椭圆于点，连接，。
设，，，
根据直线、椭圆都关于坐标原点对称可知，它们的交点也关于坐标原点对称，
所以为的中点，点的坐标为。
因为为的中点，
所以在中，由中位线定理得到，
所以。
所以
。
因为点，在抛物线上，
所以，，
因为，，
，
因为点存在，
所以将上述方程视为关于的一元二次方程，则有①，
因为点同时在椭圆和抛物线上，
所以，
即，
所以，舍去负值，
所以②，
联立①②得到，
解得，
所以的最大值为。
本题主要考查直线与圆锥曲线、曲线与方程以及圆锥曲线。
（1）根据抛物线的性质以及即可求解。
（2）连接并延长交椭圆于点，连接。设，，，证明点与点关于原点对称，得到。根据中位线定理得到，并求出。利用点,在抛物线上，求出，因为点存在，所以一元二次方程的。因为点同时在椭圆和抛物线上，所以可得，据此可求出，再结合即可求出，即的最大值为。
