已知椭圆()的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点。
(1)求椭圆的方程。
(2)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点,求直线的方程。
(1)因为椭圆()的一个顶点为,
所以。
又因为椭圆右焦点为,且,
所以,
所以椭圆的方程为。
(2)因为点在椭圆上(异于椭圆的顶点),,
根据题意可知,直线的斜率存在,
不妨设直线的方程为,
联立直线的方程和椭圆方程,
整理得,
解得或,
则点的横坐标为,
纵坐标为。
因为点为线段的中点,
且,,
所以点。
因为,
所以,且向量与同向,
则点的坐标为,
因为直线与以为圆心的圆相切于点,
则,
即,
则直线的方程为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线、圆锥曲线以及圆与方程。
(1)由椭圆顶点可得,再由可得,进而求得,即可得到椭圆的方程。
(2)首先设直线的方程为,与椭圆方程联立可得,求解即可得到点的坐标,再由点为线段的中点,进而求得点的坐标。由条件可求得点的坐标。直线与以为圆心的圆相切于点,可得,得到关于的一元二次方程,求解即可求得直线的方程。