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2020年高考数学天津18

  2020-11-23 22:45:32  

(2020天津卷计算题)

已知椭圆)的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点。

(1)求椭圆的方程。

(2)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点,求直线的方程。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):数学第18题
【答案】

(1)因为椭圆)的一个顶点为

所以

又因为椭圆右焦点为,且

所以

所以

所以椭圆的方程为

(2)因为点在椭圆上(异于椭圆的顶点),

根据题意可知,直线的斜率存在,

不妨设直线的方程为

联立直线的方程和椭圆方程

整理得

解得

则点的横坐标为

纵坐标为

因为点为线段的中点,

所以点

因为

所以,且向量同向,

则点的坐标为

因为直线与以为圆心的圆相切于点

所以

整理得

解得

则直线的方程为

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线、圆锥曲线以及圆与方程。

(1)由椭圆顶点可得,再由可得,进而求得,即可得到椭圆的方程。

(2)首先设直线的方程为,与椭圆方程联立可得,求解即可得到点的坐标,再由点为线段的中点,进而求得点的坐标。由条件可求得点的坐标。直线与以为圆心的圆相切于点,可得,得到关于的一元二次方程,求解即可求得直线的方程。

【考点】
椭圆的概念、性质与基本量的计算直线与圆锥曲线直线与圆直线与圆锥曲线的位置关系圆与方程圆锥曲线


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