(本小题满分分)
设椭圆()的左焦点为,左顶点为,上顶点为。已知(为原点)。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,圆同时与轴和直线相切,圆心在直线上,且,求椭圆的方程。
(Ⅰ)因为,,,
所以,
所以椭圆的离心率。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆方程为,
直线的方程为,设圆心的坐标为,
联立直线和椭圆方程,消去,整理得,
即,或。
当时,,当时,。
因为在轴上方,所以点坐标为。
因为,所以,
因为,,
所以,整理得,
所以圆心的坐标为,半径为。
又因为圆和直线相切,
解得,
所以,,
所以椭圆的方程为。
本题主要考查直线方程、圆、直线与圆锥曲线以及圆锥曲线的性质。
(Ⅰ)由可得,根据即可得离心率。
(Ⅱ)根据题意写出直线方程,设出圆心坐标,联立直线和椭圆方程,解得点坐标,根据可得,即可得的值,再根据圆和直线相切即可算出的值,根据离心率即可算出的值和的值,即可得椭圆方程。