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2019年高考数学天津--文19

  2019-06-22 10:15:59  

(2019天津卷计算题)

(本小题满分分)

设椭圆)的左焦点为,左顶点为,上顶点为。已知为原点)。

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,圆同时与轴和直线相切,圆心在直线上,且,求椭圆的方程。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第19题
【答案】

(Ⅰ)因为

所以

所以椭圆的离心率

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆方程为

直线的方程为,设圆心的坐标为

联立直线和椭圆方程,消去,整理得

时,,当时,

因为轴上方,所以点坐标为

因为,所以

因为

所以,整理得

所以圆心的坐标为,半径为

又因为圆和直线相切,

所以

解得

所以

所以椭圆的方程为

【解析】

本题主要考查直线方程、圆、直线与圆锥曲线以及圆锥曲线的性质。

(Ⅰ)由可得,根据即可得离心率。

(Ⅱ)根据题意写出直线方程,设出圆心坐标,联立直线和椭圆方程,解得点坐标,根据可得,即可得的值,再根据圆和直线相切即可算出的值,根据离心率即可算出的值和的值,即可得椭圆方程。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线


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