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2019年高考数学江苏20

  2019-06-20 20:05:54  

(2019江苏卷计算题)

(本小题满分16分)定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”。

(1)已知等比数列)满足:,求证:数列为“数列”;

(2)已知数列)满足:,其中为数列的前项和。

①求数列的通项公式;

②设为正整数,若存在“数列”),对任意正整数,当时,都有成立,求的最大值。

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科:数学第20题
【答案】

(1)已知

又因为数列为等比数列,则,设公比为),

所以,即,则有

可得

,解得,是正数,

所以数列是首项为公比为正数的等比数列,

即证得数列为“数列”。

(2)①已知

可知

时,有,则

可变形为

两式相减得

所以

,则

所以数列为首项,公差为的等差数列,

所以

则数列是首项为,公比为的等比数列,

,即

所以数列的通项公式为

②由①可知,

因为存在“数列”满足题目条件,

则数列是以为首项且公比为正数的等比数列,

设公比为,则

所以问题转化为存在,对任意

都有恒成立。

ⅰ)当时,,与题目要求不合,舍去,

ⅱ)当时,,即

ⅲ)当时,当时,恒成立,

时,将上式以为底取对数,

分离变量,即

时,

单调递增,

单调递减,

所以当,函数取最大值,

又因为

所以

,当

所以当,函数单调递减,

所以若

,对于可取任意正整数,

对于越小的取值越大,

所以当可取最大值,

又因为

所以的最大值为

【解析】

本题主要考查数列的递推与通项、数列综合以及导数在研究函数中的应用。

(1)设出数列的公比,代入题中条件,可解出的值,再结合定义即可。

(2)①将代入得,对题中条件变形得,则有,相减整理可得,令,易证得数列为首项为公差为的等差数列,即,整理可得数列的通项公式为

②由①可知,,则问题转化为存在,对任意,都有恒成立,分三种情况讨论,当时,当时,恒成立,当时,将上式以为底取对数,则,分离变量,即,设,研究这两个函数的单调性和极值,求出的最大值。

【考点】
创新数列问题数列的递推与通项导数在研究函数中的应用


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