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2019年高考数学江苏19

  2019-06-20 20:05:54  

(2019江苏卷计算题)

(本小题满分16分)设函数的导函数。

(1)若,求的值;

(2)若,且的零点均在集合中,求的极小值;

(3)若,且的极大值为,求证:

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科:数学第19题
【答案】

(1)若,则

又因为,所以

所以

(2)若,则

,则

,则

因为函数的零点均在集合中,

所以,所以

则此时

所以上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

所以的极小值为

(3)当时,

①当时,

上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

所以的极大值为,此时满足

②当时,

因为

所以存在,使得

上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

的极大值为。,

因为

所以

所以

不妨令,则

因为,所以

不妨令

上恒成立,所以上单调递减,

所以

综上,恒成立。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)将代入可得,再结合即可计算出

(2)由题知,,即可得,即可得函数的所有零点,结合因为函数的零点均在集合中可很快试出,代回,对其进行求导得出其单调性,再求其极小值即可。

(3)由题意可得,当时,对其进行求导,得出单调性,进而即可求得,满足;当时,可得,根据二次函数的图象与性质和零点存在定理可得,存在,使得,则的极大值为,由可得,代入解析式可得,令,整理后得,令,对其求导后根据单调性可得,综上得证。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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