本题主要考查函数的概念与性质和圆与方程。

①当时，

不妨令，

化简得（ ），

所以函数在上的图象是以为圆心，为半径的上半圆。

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以函数在上的图象是以为圆心，为半径的下半圆。

又因为是周期为的周期函数，

所以可画出在上的图象如图所示；

因为是周期为的周期函数，且当时，，

所以当时，，

当时，（），则且恒过点。

将与的图象置于同一直角坐标系下，

为了便于区分，函数的图象为实线，函数的图象为虚线。

②由图可知：

时，， ，与的图象无交点；

时，，，与的图象只有一个交点；

由周期性可知：

时，与的图象无交点；

时，与的图象也只有一个交点；

综上，时，与图象有个交点；

又因为时，有个不同的实数根，

所以时，与的图象应有个交点；

而在时，，而，所以与的图象无交点；

所以时，与在图象上应有个交点。

③由与的周期性可知：

欲满足题意，则需当时，与图象有个交点，

即直线与圆弧（）在时有个交点，

所以圆心到直线的距离，

解得，又因为，所以。

另需保证直线与圆弧的两交点在上，可找到临界状态，

即直线过点，此时解得。

综上所述，的取值范围为。

故本题正确答案为。