在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数),则点的坐标是__________。
本题主要考查导数的概念及其几何意义和导数在研究函数中的应用。
设,,
由于,则过点的切线斜率为,
故过点切线方程为。
由题知该切线过点,则,整理得,
则,令,解得,
当时,;
当时,,则,
则在上单调递减,上单调递增,
当时,,,则,
故当时,单调递减且均为负,
同时因为,
且当时,单调递增,
则有唯一解,
而,
所以方程有唯一解,即,
故点坐标为,即。
故本题正确答案为。