如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,分别为,的中点。
(1)求证:;
(2)求证:平面平面;
(3)求证:平面。
(1)因为,为中点,
所以。
又因为平面平面,平面平面,
所以平面。
又因为平面,
(2)由(1)知平面,
又因为在矩形中,且,
所以平面,
又因为,,
因为平面,平面,
所以平面平面。
(3)如图,取的中点,连接,。
因为为的中点,为的中点,
所以且。
因为为中点,
又因为且,
所以且,
所以四边形是平行四边形。
所以,
又因为平面,平面,
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
(1)由为的中点可得,根据平面平面,平面平面,可得平面,又平面,即可完成证明。
(2)根据线面垂直的判定定理可得平面,进而得到平面,根据面面垂直的判定定理即可证明。
(3)取的中点,连接,,根据中位线定理构造平行四边形,得出,再根据线面平行的判定定理即可证明。