设抛物线：的焦点为，过且斜率为（）的直线与交于、两点，。
（1）求的方程；
（2）求过点、且与的准线相切的圆的方程。
（1）设点，，
根据抛物线方程可知其焦点坐标为，准线为，
由题意可设直线的方程为（），
联立直线与抛物线方程，消得。
，则方程有两不等实根。
设，，由于、两点在直线上，
则、是方程的两不等实根。
由韦达定理得，。
由于，则、两点在轴的异侧。
则。
解得，又，所以。
故直线的方程为。
（2）由（1）可得，则，。
则线段的中点为。而的斜率为，则线段的垂直平分线斜率为。
其垂直平分线方程可写作。
因为经过点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，
则可设圆心为，由于圆与抛物线的准线相切，
若，由于点、均在轴右侧且圆经过点、，
则圆必与直线相交，故。则到直线的距离为，
即圆的半径为。
点到直线的距离可以表示为：，
则，
故，平方后移项得，
解得或，则圆的方程为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（1）由的坐标及直线的斜率为，可写出：，联立抛物线方程及可以求出值。
（2）由（1）的结论推出线段垂直平分线方程，设圆心坐标，根据圆与准线相切，且圆过、两点可得，则圆的半径，再根据勾股定理，利用圆心到弦的距离和弦的长度可求出半径的表达式，联立两式解出后可写出圆的方程。
