本题主要考查平面向量的数量积。

因为，

所以和垂直，

所以的末端就落在图中的虚线圆上。

因为与的夹角为，

所以的末端在如图的射线上，

所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量。

根据对称性，只考虑上半部分，要求的最小值，

只需求圆心到射线的距离减去圆的半径。

故。

故本题正确答案为A。