设抛物线:的焦点为,过且斜率为()的直线与交于,两点,。
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程。
(1)设点,,
由题知,抛物线:,所以焦点的坐标为,
设直线的方程为:,
联立直线与抛物线,
消得:,
故,
所以,解得,
又,,
所以直线的方程为:。
(2)由(1)得的中点坐标为,
所以的垂直平分线方程为,即,
设所求圆的圆心坐标为,则
,
解得或。
因此所求圆的方程为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
(1)设点,,联立直线方程与抛物线方程,列出的等式,即可求解。
(2)由(1)可知圆心必在垂直平分线上,再根据圆与抛物线准线相切得到圆的半径,即可写出圆的坐标方程。