本题主要考查函数的概念与性质。

由题知：，那么，

所以为奇函数。

当时，，

当时，，

当时，，

，故。

A项，函数为偶函数，故A项不符合题意。

C项，函数为奇函数，但，故C项不符合题意。

D项，函数为奇函数，但，故D项不符合题意。

故本题正确答案为B。