2018年高考数学新课标1--理20 打印页面 - Powered by 开心教练QQ:29443574

(2018新课标Ⅰ卷计算题)

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$ 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 $20$ 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记 $20$ 件产品中恰有 $2$ 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ ；

（2）现对一箱产品检验了 $20$ 件，结果恰有 $2$ 件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值。已知每件产品的检验费用为 $2$ 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$ 元的赔偿费用。

（I）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $EX$ 。

（II）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】

（1） $f(p)=\text{C}_{20}^2 p^2(1-p)^{18}$ ，

$f'(p)=\text{C}_{20}^2 [2p(1-p)^{18}-18p^2(1-p)^{17}$
$=\text{C}_{20}^2 (1-p)^{17}2p(1-10p)$ ， $0<p<1$ ，

当 $p=\dfrac{1}{10}$ 时， $f'(p)=0$ ，且 $f'(p)$ 在 $(0,\dfrac{1}{10})$ 上时 $f'(p)>0$ ，在 $(\dfrac{1}{10},1)$ 上时 $f'(p)<0$ ，

所以当 $p=\dfrac{1}{10}$ 时， $f(p)$ 取最大值，

$f(p)$ 的最大值为 $f(\dfrac{1}{10})=\dfrac{19 \times 9^{18}}{10^{19}}$ ，

即 $f(p)$ 的最大值点 $p_0=0.1$ 。

（2）（i）该分布本质上为二项分布，

设一箱产品花的费用为 $X$ ，

则其分布如下图，

$EX=np+20 \times 2=25 \times 180 \times \dfrac{1}{10}+40=490$ ，

（ii）若验证花费 $200 \times 2 =400$ 元，需验证。

【解析】

本题主要考查随机变量及其分布。

（1）根据二项分布概率公式即可表示概率，再通过求导即可计算出最值。

（2）（i）考查二项分布的期望计算。

（i）通过分布列的数字特征选择方案。