2018年高考数学新课标1--理8 打印页面 - Powered by 开心教练QQ:29443574

(2018新课标Ⅰ卷单选题)

设抛物线 $C：y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\dfrac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则 $\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=$ （）。

【解析】

本题主要考查圆锥曲线和平面向量的数量积。

过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\dfrac{2}{3}$ 的直线为 $y=\dfrac{2}{3}(x+2)$ ①。

将直线①代入抛物线方程得 $y^2=6y-8$ 。

解得 $\begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}y=4\\x=4\end{cases}$ ，

则 $M(1,2)$ ， $N(4,4)$ 。

因为 $F$ 为抛物线焦点，则 $F(1,0)$ 。所以 $\overrightarrow{FM}=(0,2)$ ， $\overrightarrow{FN}=(3,4)$ 。

所以 $\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0\times 3 +2 \times 4=8$ 。

故本题正确答案为D。