(本小题满分14分)
设椭圆()的左焦点为,右顶点为,离心率为。已知是抛物线()的焦点,到抛物线的准线的距离为。
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(Ⅱ)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆交于点(异于点),直线与轴相交于点。若的面积为,求直线的方程。
(Ⅰ)设的坐标为。依题意,,,,解得,,,于是。
所以椭圆的方程为,抛物线的方程为。
(Ⅱ)设直线的方程为(),与直线的方程联立,可得点,故。将与联立,消去,整理得,解得或。由点异于点,可得点。由,可得直线的方程为,令,解得,故,所以。又的面积为,故,整理得,解得,所以。所以直线的方程为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
(Ⅰ)因为椭圆的右顶点是抛物线的焦点,所以抛物线的准线方程为,因为到抛物线的准线的距离为,所以,再结合即可求得,,的值,从而确定椭圆方程和抛物线方程;
(Ⅱ)设直线的方程为,先写出点和点的坐标,将直线的方程与椭圆方程联立,消去得到关于的方程,解方程得点坐标,结合点的坐标写出直线的方程,即可得到点的坐标,从而求出,根据的面积列出关于参数的方程,求解方程即可。