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2017年高考数学天津--理19

  2017-06-27 20:25:38  

(2017天津卷计算题)

(本小题满分14分)

设椭圆)的左焦点为,右顶点为,离心率为。已知是抛物线)的焦点,到抛物线的准线的距离为

(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;

(Ⅱ)设上两点关于轴对称,直线与椭圆交于点异于点),直线轴相交于点。若的面积为,求直线的方程。

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)设的坐标为。依题意,,解得,于是

所以椭圆的方程为,抛物线的方程为

(Ⅱ)设直线的方程为),与直线的方程联立,可得点,故。将联立,消去,整理得,解得。由点异于点,可得点。由,可得直线的方程为,令,解得,故,所以。又的面积为,故,整理得,解得,所以。所以直线的方程为

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线。

(Ⅰ)因为椭圆的右顶点是抛物线的焦点,所以抛物线的准线方程为,因为到抛物线的准线的距离为,所以,再结合即可求得的值,从而确定椭圆方程和抛物线方程;

(Ⅱ)设直线的方程为,先写出点和点的坐标,将直线的方程与椭圆方程联立,消去得到关于的方程,解方程得点坐标,结合点的坐标写出直线的方程,即可得到点的坐标,从而求出,根据的面积列出关于参数的方程,求解方程即可。

【考点】
直线与圆锥曲线


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